微分中值定理证明——从直观到严谨的推导
发布时间：2025-05-07 13:58:26来源：
微分中值定理是数学分析中的核心内容之一，其核心思想在于揭示函数在区间上的整体性质与其局部特性之间的联系。本文将通过直观解释与严格证明相结合的方式，帮助读者理解这一重要定理。
首先，从几何意义上来看，微分中值定理表明，若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且可导，则至少存在一点 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。这相当于说，函数曲线在某点的切线斜率等于该区间的平均变化率。
接下来进入严格的逻辑推导。根据罗尔定理，构造辅助函数 $g(x) = f(x) - \left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\right]$，显然 $g(a) = g(b) = 0$。由罗尔定理可知，存在 $\xi \in (a, b)$ 满足 $g'(\xi) = 0$，即 $f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。由此完成了证明。
微分中值定理不仅为后续泰勒公式等奠定了基础，还广泛应用于优化问题和物理建模等领域，具有重要的理论价值与实际意义。
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