在统计学中，平均数和标准差是衡量数据集中趋势与离散程度的重要指标。为了更好地理解这两个概念，我们可以通过一个具体的例子来学习如何进行计算。

假设有一组学生的考试成绩如下：

75, 80, 90, 65, 85

第一步：计算平均数

平均数的公式为：

\[ \text{平均数} = \frac{\sum x_i}{n} \]

其中 \(x_i\) 是每个数据点，\(n\) 是数据点的数量。

将上述成绩代入公式：

\[ \text{平均数} = \frac{75 + 80 + 90 + 65 + 85}{5} = \frac{400}{5} = 80 \]

因此，这组成绩的平均数为 80。

第二步：计算标准差

标准差用于衡量数据点相对于平均值的波动情况。其公式为：

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}} \]

其中 \(\mu\) 是平均数，\(n\) 是数据点的数量。

首先，我们需要计算每个数据点与平均数之间的差值平方：

- 对于 75: \((75 - 80)^2 = (-5)^2 = 25\)

- 对于 80: \((80 - 80)^2 = 0^2 = 0\)

- 对于 90: \((90 - 80)^2 = 10^2 = 100\)

- 对于 65: \((65 - 80)^2 = (-15)^2 = 225\)

- 对于 85: \((85 - 80)^2 = 5^2 = 25\)

接下来，将这些差值平方相加并除以数据点数量：

\[ \sigma = \sqrt{\frac{25 + 0 + 100 + 225 + 25}{5}} = \sqrt{\frac{375}{5}} = \sqrt{75} \approx 8.66 \]

所以，这组成绩的标准差约为 8.66。

通过这个简单的例子，我们可以看到平均数和标准差是如何帮助我们理解和分析一组数据的特征。掌握这些基本的统计工具对于数据分析至关重要。