在数学学习中，三角函数是一个非常重要的部分，而正余弦定理则是解决三角形相关问题的重要工具。为了帮助大家更好地掌握这一知识点，本文将通过一些精选的练习题来加深对正余弦定理的理解。
练习题一：已知两边及夹角求第三边
在一个三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠BAC=60°。利用正弦定理计算BC的长度。
解析：
根据正弦定理公式 \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)，我们可以先计算出∠BAC对应的边BC的正弦值。然后通过余弦定理进一步求解。
首先，使用余弦定理：
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \]
代入数据：
\[ BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) \]
\[ BC^2 = 25 + 49 - 35 = 39 \]
因此，\( BC = \sqrt{39} \approx 6.24 \, \text{cm} \)
练习题二：已知两角一边求其他边
在三角形DEF中，已知∠D=45°，∠E=75°，DE=8cm。利用正弦定理计算DF和EF的长度。
解析：
首先，根据三角形内角和为180°，可以得出∠F=60°。接下来，应用正弦定理：
\[ \frac{DE}{\sin F} = \frac{DF}{\sin E} = \frac{EF}{\sin D} \]
计算DF：
\[ \frac{8}{\sin 60^\circ} = \frac{DF}{\sin 75^\circ} \]
\[ DF = 8 \cdot \frac{\sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \]
利用计算器或查表得到具体数值。
同理，计算EF：
\[ \frac{8}{\sin 60^\circ} = \frac{EF}{\sin 45^\circ} \]
\[ EF = 8 \cdot \frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} \]
练习题三：已知三边求角度
在三角形GHI中，已知GH=6cm，GI=8cm，HI=10cm。利用余弦定理计算各角的大小。
解析：
使用余弦定理分别计算三个角的余弦值，然后通过反余弦函数求得角度。
对于∠G：
\[ \cos G = \frac{HI^2 + GI^2 - GH^2}{2 \cdot HI \cdot GI} \]
代入数据计算即可。
类似地，计算∠H和∠I。
通过这些练习题，希望大家能够更加熟练地运用正余弦定理解决实际问题。练习是掌握知识的关键，希望同学们多加练习，不断提高自己的数学能力！
