在学习数字信号处理的过程中，课后习题是检验和巩固所学知识的重要环节。本书作为经典教材之一，其配套习题涵盖了从基础到深入的多个方面，对于培养学生的理论与实践能力具有重要意义。以下将对部分课后习题进行详细解答，旨在帮助读者更好地理解和掌握相关知识点。
第一章 离散时间信号与系统
习题1.1
问题描述：
已知一个离散时间信号 \( x[n] = \cos(\omega_0 n) \)，请分析其周期性，并给出最小正周期。
解答：
离散时间信号 \( x[n] = \cos(\omega_0 n) \) 的周期性取决于角频率 \( \omega_0 \) 是否满足有理数条件。具体来说，若存在整数 \( N \) 和 \( M \)，使得 \( \omega_0 = \frac{2\pi M}{N} \)，则该信号为周期信号，且最小正周期为 \( N \)。
假设 \( \omega_0 = \frac{\pi}{4} \)，可以验证：
\[
\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{\pi / 4}{2\pi} = \frac{1}{8}
\]
因此，\( M = 1 \)，\( N = 8 \)，即最小正周期为 8。
第二章 Z变换
习题2.3
问题描述：
求序列 \( x[n] = u[n] - u[n-5] \) 的 Z 变换，并确定其收敛域。
解答：
首先，根据单位阶跃函数的定义，序列 \( x[n] \) 表示从 \( n = 0 \) 到 \( n = 4 \) 的一段脉冲序列。其 Z 变换为：
\[
X(z) = \sum_{n=0}^{4} z^{-n}
\]
这是一个有限项几何级数，利用公式可得：
\[
X(z) = \frac{1 - z^{-5}}{1 - z^{-1}}, \quad |z| > 1
\]
收敛域为 \( |z| > 1 \)。
第三章 离散傅里叶变换
习题3.5
问题描述：
计算序列 \( x[n] = [1, 2, 3, 4] \) 的离散傅里叶变换（DFT），并写出结果。
解答：
使用 DFT 公式：
\[
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j \frac{2\pi}{N} kn}, \quad k = 0, 1, ..., N-1
\]
代入 \( x[n] = [1, 2, 3, 4] \)，得到：
\[
X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
\]
\[
X[1] = 1 + 2e^{-j\frac{\pi}{2}} + 3e^{-j\pi} + 4e^{-j\frac{3\pi}{2}}
\]
经过计算可得：
\[
X[1] = 1 - j2 - 3 + j4 = -2 + j2
\]
类似地，可以计算出 \( X[2] \) 和 \( X[3] \)。最终结果为：
\[
X[k] = [10, -2+j2, -2, -2-j2], \quad k = 0, 1, 2, 3
\]
通过以上解答，我们不仅解决了具体的数学问题，还加深了对数字信号处理基本概念的理解。希望这些内容能为读者的学习提供有益的帮助！
