在数学学习中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅广泛应用于几何学和物理学等领域，而且也是高考以及各类竞赛中的常客。本文将围绕三角函数的定义域、值域以及单调性展开讨论，并附上详细的解答过程。
一、正弦函数（sin x）
定义域
正弦函数 \( y = \sin x \) 的定义域为全体实数，即 \( x \in \mathbb{R} \)。
值域
正弦函数的值域为 \([-1, 1]\)，即对于任意实数 \( x \)，都有 \( -1 \leq \sin x \leq 1 \)。
单调性
- 在区间 \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 上，正弦函数是严格递增的。
- 在区间 \([\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\) 上，正弦函数是严格递减的。
二、余弦函数（cos x）
定义域
余弦函数 \( y = \cos x \) 的定义域同样为全体实数，即 \( x \in \mathbb{R} \)。
值域
余弦函数的值域也为 \([-1, 1]\)，即对于任意实数 \( x \)，都有 \( -1 \leq \cos x \leq 1 \)。
单调性
- 在区间 \([0, \pi]\) 上，余弦函数是严格递减的。
- 在区间 \([\pi, 2\pi]\) 上，余弦函数是严格递增的。
三、正切函数（tan x）
定义域
正切函数 \( y = \tan x \) 的定义域为 \( x \neq k\pi + \frac{\pi}{2} \) （其中 \( k \in \mathbb{Z} \)），即所有使分母不为零的实数。
值域
正切函数的值域为全体实数，即 \( y \in \mathbb{R} \)。
单调性
正切函数在其定义域内是严格递增的。
四、余切函数（cot x）
定义域
余切函数 \( y = \cot x \) 的定义域为 \( x \neq k\pi \) （其中 \( k \in \mathbb{Z} \）），即所有使分母不为零的实数。
值域
余切函数的值域为全体实数，即 \( y \in \mathbb{R} \)。
单调性
余切函数在其定义域内是严格递减的。
以上是对四种基本三角函数的定义域、值域及单调性的总结。下面通过一个具体的例子来巩固这些知识点。
示例问题
已知函数 \( f(x) = \sin x + \cos x \)，求其定义域、值域以及单调区间。
解答步骤
1. 定义域
正弦函数和余弦函数的定义域均为全体实数，因此 \( f(x) \) 的定义域也为全体实数。
2. 值域
利用辅助角公式，可以将 \( f(x) \) 化简为：
\[
f(x) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
\]
根据正弦函数的性质，可知 \( f(x) \) 的值域为 \([- \sqrt{2}, \sqrt{2}]\)。
3. 单调区间
对 \( f(x) \) 求导得：
\[
f'(x) = \cos x - \sin x
\]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = k\pi + \frac{\pi}{4} \) （其中 \( k \in \mathbb{Z} \)）。结合正弦函数的周期性和符号变化规律，可得 \( f(x) \) 在每个周期内的单调递增区间为 \([k\pi - \frac{\pi}{4}, k\pi + \frac{\pi}{4}]\)，单调递减区间为 \([k\pi + \frac{\pi}{4}, (k+1)\pi - \frac{\pi}{4}]\)。
综上所述，函数 \( f(x) = \sin x + \cos x \) 的定义域为 \( \mathbb{R} \)，值域为 \([- \sqrt{2}, \sqrt{2}]\)，单调递增区间为 \([k\pi - \frac{\pi}{4}, k\pi + \frac{\pi}{4}]\)，单调递减区间为 \([k\pi + \frac{\pi}{4}, (k+1)\pi - \frac{\pi}{4}]\)。
希望上述内容能够帮助大家更好地理解和掌握三角函数的相关知识！如果还有其他疑问，欢迎随时提问。
