在学习最优控制理论的过程中，习题练习是非常重要的环节。通过解决实际问题，我们能够更好地理解理论知识并将其应用于实践。以下是一些典型的最优控制习题及其参考答案，希望对大家的学习有所帮助。
例题1：线性二次型调节器（LQR）
题目：考虑一个简单的线性系统：
\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \]
其中 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)
目标是最小化性能指标：
\[ J = \int_{0}^{\infty} [x^T Q x + u^T R u] dt \]
其中 \( Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, R = 1 \)
求解最优控制律 \( u^(t) \) 和相应的状态反馈矩阵 \( K \)。
解答：
根据LQR理论，最优控制律为：
\[ u^(t) = -Kx(t) \]
其中 \( K = R^{-1}B^TP \)，\( P \) 是代数黎卡提方程的解：
\[ A^TP + PA - PBR^{-1}B^TP + Q = 0 \]
代入已知矩阵，可以得到黎卡提方程的具体形式，并通过数值方法求解得到 \( P \)。最终可以得到 \( K \) 的值。
例题2：离散时间最优控制
题目：给定离散时间系统的状态转移方程：
\[ x(k+1) = Ax(k) + Bu(k) \]
其中 \( A = \begin{bmatrix} 0.9 & 0 \\ 0 & 0.8 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 0.3 \end{bmatrix} \)
目标是最小化性能指标：
\[ J = \sum_{k=0}^{N-1} [x^T(k)Qx(k) + u^T(k)Ru(k)] + x^T(N)P_Nx(N) \]
其中 \( Q = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, R = 1, P_N = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \)
求解最优控制序列 \( u^(k) \)。
解答：
利用动态规划法，首先从末态条件开始递推，得到每一时刻的状态估值函数 \( V(x(k)) \)。然后根据贝尔曼方程确定最优控制律 \( u^(k) \)。
以上是两个典型的最优控制问题及其解答。通过这些例子，我们可以看到最优控制不仅涉及到数学上的复杂计算，还需要结合物理背景进行合理建模。希望大家在实践中不断探索和总结经验，提高解决问题的能力。
