线性代数期末考试试题及答案
线性代数作为数学领域的重要分支，在工程、计算机科学、物理学等多个学科中都有着广泛的应用。为了帮助大家更好地掌握这门课程的核心知识点，本文整理了一份线性代数期末考试的试题及其详细解答。
一、选择题
1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，则其行列式的值为：
- A. 2
- B. -2
- C. 10
- D. -10
答案：B
2. 向量 \( \mathbf{v} = (1, 2, 3) \) 和向量 \( \mathbf{w} = (4, 5, 6) \) 的点积为：
- A. 32
- B. 20
- C. 28
- D. 36
答案：A
二、填空题
1. 若矩阵 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的可逆矩阵，则其伴随矩阵 \( A^ \) 满足的关系式为：
\( A \cdot A^ = \_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
答案：\( I_n \)
2. 线性方程组 \( Ax = b \) 有唯一解的充分必要条件是矩阵 \( A \) 的秩等于其增广矩阵的秩且等于 \( n \)，其中 \( n \) 是未知数的个数。
三、解答题
1. 已知矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \)，求其特征值和特征向量。
解答：
首先计算特征多项式 \( |A - \lambda I| = 0 \)：
\[
\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 4 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 5\lambda + 2
\]
解得特征值 \( \lambda_1 = 4 \) 和 \( \lambda_2 = 1 \)。
对于 \( \lambda_1 = 4 \)，解方程 \( (A - 4I)\mathbf{x} = 0 \) 得到特征向量 \( \mathbf{v}_1 = (1, 2) \)。
对于 \( \lambda_2 = 1 \)，解方程 \( (A - I)\mathbf{x} = 0 \) 得到特征向量 \( \mathbf{v}_2 = (-1, 2) \)。
2. 给定线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \)，其在标准基下的矩阵表示为 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)。求 \( T \) 的核空间和像空间。
解答：
核空间 \( \ker(T) \) 是满足 \( T(\mathbf{x}) = 0 \) 的所有向量组成的集合。通过解方程 \( A\mathbf{x} = 0 \)，可以找到核空间的一组基为 \( \{(1, 0, -1)\} \)。
像空间 \( \text{Im}(T) \) 是 \( T \) 的值域，可以通过矩阵 \( A \) 的列空间来确定。经过行变换后，矩阵 \( A \) 的秩为 2，因此像空间的维数也为 2，其一组基为 \( \{(1, 0, 1), (0, 2, 0)\} \)。
希望这份试题和解答能够帮助你更好地复习线性代数的相关知识！如果还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时联系我。
