在高中数学课程中，解三角形是必修五第一章的重要内容，它不仅是三角函数知识的综合应用，也是后续学习立体几何、向量等内容的基础。本章主要围绕正弦定理、余弦定理及其应用展开，要求学生掌握基本公式并能够灵活运用解决实际问题。
一、知识点总结
1. 正弦定理（Sine Law）
在任意一个三角形中，各边与其对角的正弦值之比相等，即：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 分别为三角形的三边，$ A $、$ B $、$ C $ 为对应的三个内角，$ R $ 为三角形外接圆的半径。
应用场景：已知两边及其夹角，或两角与一边，可以使用正弦定理求解未知边或角。
2. 余弦定理（Cosine Law）
在任意一个三角形中，任一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与夹角余弦的积的两倍，即：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$
应用场景：已知三边求角，或已知两边及其夹角求第三边。
3. 三角形面积公式
三角形的面积可以用以下几种方式计算：
- 已知底和高：
$$
S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高
$$
- 已知两边及其夹角：
$$
S = \frac{1}{2} ab \sin C
$$
- 海伦公式（已知三边）：
$$
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad 其中 p = \frac{a+b+c}{2}
$$
4. 解三角形的基本类型
根据已知条件的不同，解三角形通常分为以下几种情况：
- ASA（角边角）：已知两个角和它们的夹边；
- AAS（角角边）：已知两个角和其中一角的对边；
- SAS（边角边）：已知两边及其夹角；
- SSS（边边边）：已知三边；
- SSA（边边角）：已知两边和其中一边的对角（可能存在两种解，需判断是否构成三角形）。
二、常见题型与解题技巧
1. 利用正弦定理解三角形
例题：在△ABC中，已知 $ a = 5 $，$ \angle B = 60^\circ $，$ \angle C = 90^\circ $，求边 $ b $ 和 $ c $ 的长度。
解法：首先确定 $ \angle A = 180^\circ - 60^\circ - 90^\circ = 30^\circ $。
由正弦定理得：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
$$
代入数据：
$$
\frac{5}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} \Rightarrow \frac{5}{0.5} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \Rightarrow b = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}
$$
同理可求出 $ c = 10 $。
2. 利用余弦定理解三角形
例题：在△ABC中，已知 $ a = 7 $，$ b = 5 $，$ c = 8 $，求角 $ A $ 的大小。
解法：由余弦定理：
$$
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8} = \frac{25 + 64 - 49}{80} = \frac{40}{80} = 0.5
$$
所以 $ A = \cos^{-1}(0.5) = 60^\circ $。
3. 实际应用问题
例题：某人从点A出发，向北偏东30°方向走了100米到达点B，再向南偏东60°方向走了120米到达点C。求点A到点C的距离。
解法：建立坐标系，设A为原点，利用向量分解或三角形法求解。
三、练习题精选
1. 在△ABC中，已知 $ a = 8 $，$ b = 6 $，$ \angle C = 60^\circ $，求边 $ c $ 的长度。
2. 已知 $ \angle A = 45^\circ $，$ \angle B = 60^\circ $，边 $ c = 10 $，求边 $ a $ 和 $ b $ 的长度。
3. 一艘船从港口A出发，以速度 $ v $ 向北偏东 $ 30^\circ $ 方向行驶，另一艘船从同一港口出发，以速度 $ 2v $ 向正东方向行驶，问两小时后两船之间的距离是多少？
4. 在△ABC中，已知 $ a = 3 $，$ b = 4 $，$ c = 5 $，求其面积。
四、小结
本章的核心在于掌握正弦定理与余弦定理，并能结合实际问题进行灵活应用。通过不断练习，提升解题能力，特别是在处理“SSA”这类可能有多个解的情况时，要特别注意三角形的存在性与唯一性。
希望同学们在学习过程中注重理解公式的推导过程，多做题、勤思考，提高自己分析和解决问题的能力。
