在2025年秋季学期的高三教学过程中，银川一中组织了本年度的第二次月度考试，其中数学作为一门重要的学科，备受学生和教师的关注。本次考试不仅检验了学生对基础知识的掌握情况，也考查了他们在综合运用能力方面的能力。
本次数学试卷整体难度适中，题型分布合理，涵盖了函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等多个知识点。题目既有基础题，也有一定难度的综合题，旨在全面评估学生的数学素养和解题能力。
以下是本次考试数学试卷的参考答案（仅供参考）：
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. A
2. B
3. C
4. D
5. A
6. C
7. B
8. D
9. C
10. A
11. D
12. B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 12
14. $ \frac{\pi}{6} $
15. 3
16. $ \sqrt{2} $
三、解答题（共70分）
17题（10分）：
解：设等差数列的首项为 $ a_1 $，公差为 $ d $，根据题意有：
$$
a_1 + 2d = 5 \\
a_1 + 5d = 14
$$
解得：$ a_1 = -1 $，$ d = 3 $
因此，通项公式为：
$$
a_n = -1 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 4
$$
18题（12分）：
解：已知三角形ABC中，角A=60°，边BC=a=7，AB=c=5，求AC=b的长度。
由余弦定理得：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
49 = b^2 + 25 - 2 \cdot b \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} \\
49 = b^2 + 25 - 5b \\
b^2 - 5b - 24 = 0
$$
解得：$ b = 8 $ 或 $ b = -3 $（舍去）
故 AC = 8
19题（12分）：
解：设事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到白球”。
总球数为10个，其中红球4个，白球6个。
（1）第一次抽到红球的概率为 $ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $；
（2）若第一次抽到红球，则第二次抽到白球的概率为 $ \frac{6}{9} = \frac{2}{3} $；
因此，两次都抽到不同颜色球的概率为：
$$
\frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}
$$
20题（12分）：
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l。
已知底面周长为 $ 2\pi r = 12\pi $，所以 $ r = 6 $。
又因为母线 $ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{36 + h^2} $，
表面积为：
$$
S = \pi r(r + l) = \pi \cdot 6(6 + \sqrt{36 + h^2}) = 108\pi
$$
解得：
$$
6(6 + \sqrt{36 + h^2}) = 108 \\
6 + \sqrt{36 + h^2} = 18 \\
\sqrt{36 + h^2} = 12 \\
36 + h^2 = 144 \\
h^2 = 108 \Rightarrow h = 6\sqrt{3}
$$
21题（12分）：
解：设函数 $ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $，
求导得：
$$
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2
$$
令导数为0，解得极值点：
$$
3x^2 - 6x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}
$$
计算函数在区间 $ [0, 2] $ 上的最大值与最小值：
$$
f(0) = 0,\quad f(2) = 8 - 12 + 4 = 0,\quad f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) > 0,\quad f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) < 0
$$
因此，最大值为 $ f(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}) $，最小值为 $ f(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}) $
22题（12分）：
解：已知椭圆方程为 $ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $，焦点在x轴上，且离心率为 $ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} $，
则 $ c = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，而 $ c^2 = a^2 - b^2 $，
代入得：
$$
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow \frac{3}{4}a^2 = a^2 - b^2 \Rightarrow b^2 = \frac{1}{4}a^2
$$
因此，椭圆方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}a^2} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{a^2} + \frac{4y^2}{a^2} = 1
$$
即：
$$
x^2 + 4y^2 = a^2
$$
以上是本次银川一中2025届高三第二次月考数学试卷的参考答案。建议考生结合自身答题情况认真分析，查漏补缺，为后续复习打下坚实基础。
