一、填空题（每空2分，共20分）
1. 线性规划问题的最优解可能出现在可行域的______上。
答案：顶点
2. 在单纯形法中，若某个非基变量的检验数为0，则说明该问题可能存在______解。
答案：多重最优
3. 对偶问题的约束条件个数与原问题的______个数相等。
答案：变量
4. 运输问题中的平衡条件是总供应量等于总需求量，否则称为______运输问题。
答案：不平衡
5. 整数规划问题中，若所有变量都要求为整数，则称为______整数规划。
答案：纯
6. 动态规划的基本思想是将多阶段决策过程分解为若干个______。
答案：子问题
7. 图论中，若一个图中任意两点之间都有边相连，则称为______图。
答案：完全
8. 最小生成树算法中，Prim算法适合于______图。
答案：稠密
9. 若某事件发生的概率为1，该事件称为______事件。
答案：必然
10. 决策树分析中，期望值最大的方案称为______方案。
答案：最优
二、简答题（每题10分，共30分）
1. 请简述线性规划问题中“可行解”、“基本可行解”和“最优解”的区别。
答：
可行解是指满足所有约束条件的解；基本可行解是在线性规划问题中，由基矩阵对应的变量取非零值，其余变量为零的解，并且满足非负性条件；最优解则是使目标函数达到最大或最小值的可行解。
2. 什么是对偶问题？为什么研究对偶问题？
答：
对偶问题是根据原问题构造出的一个新的线性规划问题，其变量和约束与原问题互相对应。研究对偶问题可以简化计算、提供经济解释、判断原问题是否具有最优解等。
3. 简述动态规划的基本原理。
答：
动态规划的基本原理是“最优子结构”和“重叠子问题”。即一个问题的最优解包含其子问题的最优解，且子问题会被多次重复计算，因此可以通过递归或迭代的方式求解。
三、计算题（每题15分，共30分）
1. 某工厂生产两种产品A和B，每单位产品A需要消耗原材料1kg，劳动力2小时，利润为3元；每单位产品B需要消耗原材料2kg，劳动力1小时，利润为4元。现有原材料10kg，劳动力12小时。试建立线性规划模型并求出最大利润。
解：
设生产A产品x1单位，B产品x2单位。
目标函数：max Z = 3x1 + 4x2
约束条件：
x1 + 2x2 ≤ 10
2x1 + x2 ≤ 12
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
使用图解法或单纯形法可得：
当x1=2，x2=4时，Z=3×2+4×4=22元，为最大利润。
2. 某运输问题的供需表如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 | 产量 |
|---|----|----|----|----|------|
| A | 1| 2| 3| 4| 10 |
| B | 5| 6| 7| 8| 15 |
| C | 9| 10 | 11 | 12 | 20 |
| 需求 | 5| 8| 10 | 12 | 35 |
用西北角法求初始调运方案，并计算总成本。
解：
按照西北角法分配：
- A→甲：5单位（剩余A=5）
- A→乙：5单位（A=0）
- B→乙：3单位（剩余B=12）
- B→丙：10单位（B=2）
- B→丁：2单位（B=0）
- C→丁：10单位（C=10）
- C→丙：0单位（C=10）
- C→丁：2单位（C=8）
最终调运方案及成本计算略，总成本为：
5×1 + 5×2 + 3×6 + 10×7 + 2×8 + 10×12 + 2×12 = 255元。
四、综合题（20分）
某公司有三个项目可供选择投资，每个项目的预期收益和风险系数如下：
| 项目 | 预期收益（万元） | 风险系数 |
|------|------------------|----------|
| A| 10 | 0.5|
| B| 15 | 0.7|
| C| 12 | 0.6|
公司希望在总风险不超过1.5的前提下，使总收益最大。请建立数学模型并求解。
解：
设选择项目A、B、C的数量分别为x1、x2、x3，均为0或1。
目标函数：max Z = 10x1 + 15x2 + 12x3
约束条件：0.5x1 + 0.7x2 + 0.6x3 ≤ 1.5
x1, x2, x3 ∈ {0,1}
通过枚举法可得：
选择B和C时，风险为0.7+0.6=1.3 ≤1.5，收益为15+12=27万元，为最优解。
注： 本答案仅供参考，具体题目内容以实际考试为准。
