【离散数学课后习题+答案】在学习离散数学的过程中，课后习题是巩固知识、提升逻辑思维能力的重要工具。通过练习题目，学生不仅能够加深对概念的理解，还能掌握解题技巧和方法。本文将围绕“离散数学课后习题+答案”这一主题，提供一些典型的例题及其详细解答，帮助读者更好地掌握相关知识点。
一、集合与关系
例题1：
设集合 $ A = \{1, 2, 3\} $，集合 $ B = \{2, 3, 4\} $，求 $ A \cup B $ 和 $ A \cap B $。
解答：
- 并集 $ A \cup B $ 是由所有属于 $ A $ 或 $ B $ 的元素组成的集合，即：
$$
A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}
$$
- 交集 $ A \cap B $ 是由同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素组成的集合，即：
$$
A \cap B = \{2, 3\}
$$
二、命题逻辑
例题2：
判断以下命题的真假性：
> 如果今天下雨，那么我会在家休息。
解答：
这是一个典型的条件命题，形式为 “如果 P，则 Q”，其中 P 表示“今天下雨”，Q 表示“我会在家休息”。
- 当 P 为真（下雨），Q 也为真（在家休息）时，该命题为真。
- 当 P 为真，Q 为假时，命题为假。
- 当 P 为假时，无论 Q 是真还是假，整个命题都为真（因为“如果…那么…”在 P 为假时被认为是成立的）。
因此，该命题的真假取决于实际情况中 P 和 Q 是否同时为真或 P 为假。
三、图论基础
例题3：
一个无向图中有 6 个顶点，每个顶点的度数为 3，问这个图是否可能？
解答：
根据图论中的“握手定理”，图中所有顶点的度数之和必须是偶数。
每个顶点的度数为 3，共 6 个顶点，总度数为：
$$
6 \times 3 = 18
$$
18 是偶数，因此满足握手定理，说明这样的图是可能存在的。
四、排列组合
例题4：
从 5 个不同的球中选出 3 个，有多少种不同的选法？
解答：
这是一个组合问题，不考虑顺序，计算公式为组合数：
$$
C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10
$$
所以共有 10 种不同的选法。
五、函数与映射
例题5：
设函数 $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ 定义为 $ f(x) = x^2 $，判断其是否为单射、满射或双射。
解答：
- 单射：若 $ f(a) = f(b) $，则 $ a^2 = b^2 $，即 $ a = \pm b $，因此不是单射。
- 满射：由于 $ f(x) = x^2 \geq 0 $，而 $ \mathbb{R} $ 中包含负数，因此不是满射。
- 双射：既不是单射也不是满射，故不是双射。
结语
离散数学是一门逻辑性强、应用广泛的学科，课后习题不仅是复习的手段，更是理解知识的关键途径。通过反复练习和思考，可以逐步提高分析问题和解决问题的能力。希望本文提供的例题与解答能对学习离散数学的同学有所帮助，也欢迎更多人参与到“离散数学课后习题+答案”的研究与分享中来。
