【根号x分之一的导数】在微积分中，求函数的导数是理解函数变化率的重要方法。本文将对“根号x分之一”的导数进行详细分析，并以总结加表格的形式展示结果。
一、函数解析
“根号x分之一”可以表示为：
$$
f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}
$$
或者写成幂的形式：
$$
f(x) = x^{-\frac{1}{2}}
$$
这是一个常见的初等函数，其定义域为 $ x > 0 $。
二、导数计算
根据幂函数的求导法则：
$$
\frac{d}{dx} [x^n] = n \cdot x^{n - 1}
$$
对于 $ f(x) = x^{-\frac{1}{2}} $，其导数为：
$$
f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}
$$
也可以写成：
$$
f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}
$$
三、总结
- 函数形式：$ \frac{1}{\sqrt{x}} $
- 导数表达式：$ -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} $
- 定义域：$ x > 0 $
四、表格对比
| 函数表达式 | 导数表达式 | 定义域 |
| $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ | $ -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} $ | $ x > 0 $ |
通过以上分析可以看出，“根号x分之一”的导数是一个负指数形式的函数，反映了该函数在正实数范围内的递减趋势。掌握这一导数有助于进一步理解类似函数的变化规律。
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