在概率论与数理统计的研究中，微积分扮演着至关重要的角色。许多理论推导和实际应用都需要借助微积分工具来解决复杂的数学问题。以下是概率论与数理统计中常用的微积分公式及其相关说明。
1. 导数的基本公式
- 幂函数的导数：若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = n \cdot x^{n-1} \)
- 指数函数的导数：若 \( f(x) = e^x \)，则 \( f'(x) = e^x \)
- 对数函数的导数：若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)
2. 积分的基本公式
- 幂函数的积分：若 \( f(x) = x^n \)，则 \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) （\( n \neq -1 \)）
- 指数函数的积分：若 \( f(x) = e^x \)，则 \( \int e^x dx = e^x + C \)
- 对数函数的积分：若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( \int \ln(x) dx = x \ln(x) - x + C \)
3. 高斯积分
高斯积分是概率论中非常重要的一个概念，其形式为：
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}, \quad a > 0 \]
4. 分布函数的微积分性质
- 若随机变量 \( X \) 的概率密度函数为 \( f_X(x) \)，则其分布函数 \( F_X(x) \) 满足：
\[ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) dt \]
- 反之，若 \( F_X(x) \) 是连续的分布函数，则其概率密度函数 \( f_X(x) \) 为：
\[ f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx} \]
5. 数学期望的计算
对于离散型随机变量 \( X \)，其数学期望为：
\[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i) \]
对于连续型随机变量 \( X \)，其数学期望为：
\[ E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f_X(x) dx \]
6. 方差的计算
方差 \( Var(X) \) 表示随机变量 \( X \) 的波动程度，其公式为：
\[ Var(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 \]
7. 泊松分布的积分表示
泊松分布的概率质量函数为：
\[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots \]
其累积分布函数可以通过积分表示为：
\[ F(k; \lambda) = \sum_{i=0}^{k} \frac{\lambda^i e^{-\lambda}}{i!} \]
8. 正态分布的标准化
正态分布的概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
通过标准化变换 \( Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \)，可以将其转化为标准正态分布 \( N(0,1) \)。
以上便是概率论与数理统计中常用的微积分公式。这些公式不仅帮助我们理解概率分布的本质，还提供了解决实际问题的有效方法。在学习和应用过程中，灵活运用这些公式将大大提升解决问题的能力。
