【基本不等式6个公式】在数学学习中，基本不等式是一个非常重要的知识点，尤其在高中阶段的代数和函数部分经常出现。掌握这些基本不等式不仅能帮助我们解决实际问题，还能提升逻辑思维能力和解题效率。本文将介绍常见的“基本不等式6个公式”，并结合实例进行说明。
一、均值不等式（AM ≥ GM）
这是最基础也是最重要的一个不等式，适用于正实数。
公式：
对于任意正实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $，有
$$
\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}
$$
当且仅当 $ a_1 = a_2 = \cdots = a_n $ 时取等号。
应用示例：
若 $ x > 0 $，则 $ x + \frac{1}{x} \geq 2 $，当且仅当 $ x = 1 $ 时取等号。
二、柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
柯西不等式是向量空间中的重要不等式，广泛应用于代数、几何、分析等领域。
公式：
对于任意实数 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 和 $ b_1, b_2, \ldots, b_n $，有
$$
(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2
$$
当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时取等号。
应用示例：
设 $ a_1 = 1, a_2 = 2 $；$ b_1 = 3, b_2 = 4 $，则
$$
(1^2 + 2^2)(3^2 + 4^2) = 5 \times 25 = 125
(1 \times 3 + 2 \times 4)^2 = (3 + 8)^2 = 121
$$
显然 $ 125 \geq 121 $，成立。
三、三角不等式
这个不等式主要涉及向量或实数的绝对值。
公式：
对任意实数 $ a $ 和 $ b $，有
$$
|a + b| \leq |a| + |b|
$$
并且
$$
|a - b| \geq ||a| - |b||
$$
应用示例：
若 $ a = 3 $，$ b = -2 $，则
$$
|3 + (-2)| = |1| = 1 \leq |3| + |-2| = 5
|3 - (-2)| = |5| = 5 \geq ||3| - |-2|| = |3 - 2| = 1
$$
四、排序不等式（Reordering Inequality）
该不等式用于比较两个有序序列的乘积之和。
公式：
设 $ a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n $，$ b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n $，则
$$
a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \geq a_1b_{\sigma(1)} + a_2b_{\sigma(2)} + \cdots + a_nb_{\sigma(n)} \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + \cdots + a_nb_1
$$
其中 $ \sigma $ 是 $ 1, 2, \ldots, n $ 的任一排列。
应用示例：
设 $ a = [1, 2, 3] $，$ b = [4, 5, 6] $，则
$$
1 \times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 = 4 + 10 + 18 = 32
$$
若交换顺序，则结果会更小。
五、琴生不等式（Jensen's Inequality）
适用于凸函数或凹函数的不等式，常用于概率论与优化问题中。
公式：
若 $ f $ 是定义在区间 $ I $ 上的凸函数，且 $ x_i \in I $，$ \lambda_i \geq 0 $，$ \sum \lambda_i = 1 $，则
$$
f(\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_nx_n) \leq \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2) + \cdots + \lambda_nf(x_n)
$$
应用示例：
若 $ f(x) = x^2 $ 是凸函数，则
$$
f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}
$$
六、伯努利不等式（Bernoulli's Inequality）
适用于指数形式的不等式，常用于近似计算和极限研究。
公式：
对于任意实数 $ r \geq 1 $ 或 $ r \leq 0 $，以及 $ x \geq -1 $，有
$$
(1 + x)^r \geq 1 + rx
$$
当 $ x = 0 $ 或 $ r = 1 $ 时取等号。
应用示例：
令 $ x = 0.1 $，$ r = 2 $，则
$$
(1 + 0.1)^2 = 1.21 \geq 1 + 2 \times 0.1 = 1.2
$$
总结
以上就是“基本不等式6个公式”的内容，它们分别从不同的角度描述了数值之间的关系，具有广泛的应用价值。掌握这些不等式不仅可以提高解题能力，还能加深对数学本质的理解。建议在学习过程中多加练习，灵活运用这些公式来解决实际问题。
