【《二次函数》PPT课件2】一、课程导入
同学们，今天我们继续深入学习《二次函数》的相关知识。在上一节课中，我们已经了解了二次函数的基本定义、图像特征以及一些简单的应用。今天我们将进一步探讨二次函数的性质、解析式的变化形式以及它在实际生活中的应用。
二、复习回顾
1. 什么是二次函数？
一般形式为：
$$
y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)
$$
其中，$ a $、$ b $、$ c $ 是常数，且 $ a $ 不等于零。
2. 图像特点
二次函数的图像是抛物线，开口方向由系数 $ a $ 决定：
- 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上；
- 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。
3. 顶点坐标公式
抛物线的顶点坐标为：
$$
\left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right)
$$
三、新课内容
1. 二次函数的标准形式与一般形式
- 一般形式：
$$
y = ax^2 + bx + c
$$
- 顶点式（标准形式）：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中，$ (h, k) $ 是抛物线的顶点坐标。
> 注意：通过配方法可以将一般式转化为顶点式，便于分析图像的对称轴和顶点位置。
2. 二次函数的对称性
二次函数的图像关于其顶点所在的直线对称，这条直线称为对称轴，其方程为：
$$
x = -\frac{b}{2a}
$$
3. 二次函数的图像变换
- 平移变换：
将 $ y = ax^2 $ 向左或向右、向上或向下移动，得到新的函数图像。
- 伸缩变换：
改变 $ a $ 的大小，可以影响抛物线的开口大小和方向。
- 翻转变换：
若 $ a < 0 $，则图像会相对于 x 轴翻转。
4. 实际应用举例
- 物理问题：如抛体运动中物体的轨迹。
- 经济问题：如利润与销量之间的关系。
- 几何问题：如求最大面积、最小周长等。
四、课堂练习
请根据下列条件写出对应的二次函数表达式：
1. 顶点为 $ (2, 5) $，开口向上，且过点 $ (3, 7) $。
2. 图像经过点 $ (0, 3) $、$ (1, 2) $、$ (-1, 6) $，求其解析式。
五、总结与思考
今天我们学习了二次函数的顶点式、对称轴、图像变换以及实际应用。通过这些内容，我们可以更全面地理解二次函数的特性，并将其应用于实际问题中。
思考题：
如果一个二次函数的图像经过三个不同的点，是否一定可以确定它的解析式？为什么？
六、作业布置
1. 完成课本第 50 页的练习题 1~5 题。
2. 自主查阅资料，了解“抛物线在生活中有哪些应用实例”并整理成小报告。
七、下节课预告
下节课我们将学习二次函数与一元二次方程的关系，以及如何利用函数图像解方程。请大家提前预习相关内容。
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结束语：
数学是一门充满逻辑与美感的学科，希望同学们在学习过程中不断探索、发现规律，提升自己的思维能力！
