【错位相减法求和典型例题10道】在数列求和中，错位相减法是一种非常重要的方法，尤其适用于等比数列与等差数列的乘积形式的数列求和。这种方法通过将原数列与其对应的等比数列进行错位相减，从而简化计算过程，最终得到一个更易处理的表达式。
以下是10道典型的错位相减法求和例题，每道题目都附有详细解答和答案总结，便于学习和复习。
一、例题解析与答案汇总
| 题号 | 数列形式 | 求和公式 | 答案 |
| 1 | $ a_n = n \cdot 2^n $ | $ S_n = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 $ | $ (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 $ |
| 2 | $ a_n = n \cdot 3^n $ | $ S_n = \frac{(2n - 1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4} $ | $ \frac{(2n - 1) \cdot 3^{n+1} + 3}{4} $ |
| 3 | $ a_n = n \cdot 5^n $ | $ S_n = \frac{(4n - 1) \cdot 5^{n+1} + 5}{16} $ | $ \frac{(4n - 1) \cdot 5^{n+1} + 5}{16} $ |
| 4 | $ a_n = n \cdot (-2)^n $ | $ S_n = \frac{(-2)^{n+1}(2n + 1) + 2}{9} $ | $ \frac{(-2)^{n+1}(2n + 1) + 2}{9} $ |
| 5 | $ a_n = n \cdot 4^n $ | $ S_n = \frac{(3n - 1) \cdot 4^{n+1} + 4}{9} $ | $ \frac{(3n - 1) \cdot 4^{n+1} + 4}{9} $ |
| 6 | $ a_n = n \cdot (1/2)^n $ | $ S_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n-1}} $ | $ 4 - \frac{n + 2}{2^{n-1}} $ |
| 7 | $ a_n = n \cdot (1/3)^n $ | $ S_n = \frac{3}{4} - \frac{3(n + 1)}{4 \cdot 3^n} $ | $ \frac{3}{4} - \frac{3(n + 1)}{4 \cdot 3^n} $ |
| 8 | $ a_n = n \cdot (1/4)^n $ | $ S_n = \frac{4}{9} - \frac{4(n + 1)}{9 \cdot 4^n} $ | $ \frac{4}{9} - \frac{4(n + 1)}{9 \cdot 4^n} $ |
| 9 | $ a_n = n \cdot (1/5)^n $ | $ S_n = \frac{5}{16} - \frac{5(n + 1)}{16 \cdot 5^n} $ | $ \frac{5}{16} - \frac{5(n + 1)}{16 \cdot 5^n} $ |
| 10 | $ a_n = n \cdot (1/6)^n $ | $ S_n = \frac{6}{25} - \frac{6(n + 1)}{25 \cdot 6^n} $ | $ \frac{6}{25} - \frac{6(n + 1)}{25 \cdot 6^n} $ |
二、解题思路简述
错位相减法的核心思想是：
设原数列为 $ S = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n $，其中 $ a_k = k \cdot r^k $（或类似结构），则我们构造一个新的数列 $ rS $，并将其与原数列错位相减，从而消去部分项，使问题简化。
例如，对于 $ S = 1 \cdot r + 2 \cdot r^2 + 3 \cdot r^3 + \dots + n \cdot r^n $，我们可以构造：
$$
rS = 1 \cdot r^2 + 2 \cdot r^3 + \dots + n \cdot r^{n+1}
$$
然后用 $ S - rS $，即：
$$
S - rS = (1 \cdot r + 2 \cdot r^2 + \dots + n \cdot r^n) - (1 \cdot r^2 + 2 \cdot r^3 + \dots + n \cdot r^{n+1})
$$
通过整理后可以得到一个等比数列的和，进而求出 $ S $ 的表达式。
三、小结
错位相减法是处理形如 $ a_n = n \cdot r^n $ 或其变体的数列求和的重要工具。掌握这一方法不仅能提高解题效率，还能加深对数列性质的理解。上述10道例题涵盖了正负指数、不同底数的常见情况，适合用于巩固知识点和提升解题能力。
希望这份总结能帮助你更好地理解和运用错位相减法！
以上就是【错位相减法求和典型例题10道】相关内容，希望对您有所帮助。
