【对数求导公式表】在数学中，对数求导法是一种常见的求导技巧，尤其适用于处理复杂函数的导数问题。通过将原函数取自然对数后，再利用对数的性质进行化简，可以更方便地求出其导数。本文总结了常用的对数求导公式，并以表格形式呈现，便于查阅和学习。
一、对数求导法的基本原理
对数求导法的核心思想是：对于形如 $ y = f(x)^{g(x)} $ 或者多个因子相乘的形式，可以通过取自然对数的方式，将幂或乘积转化为加法或乘法，从而简化求导过程。具体步骤如下：
1. 对两边取自然对数；
2. 利用对数的性质展开；
3. 两边对 $ x $ 求导；
4. 解出 $ \frac{dy}{dx} $。
二、常用对数求导公式总结
| 函数形式 | 取对数后的表达式 | 导数表达式 |
| $ y = u(x)^{v(x)} $ | $ \ln y = v(x) \ln u(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = y \left[ v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} \right] $ |
| $ y = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x) $ | $ \ln y = \ln u + \ln v + \ln w $ | $ \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} + \frac{w'}{w} \right) $ |
| $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ \ln y = \ln u - \ln v $ | $ \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} \right) $ |
| $ y = e^{u(x)} $ | $ \ln y = u(x) $ | $ \frac{dy}{dx} = e^{u(x)} \cdot u'(x) $ |
| $ y = a^{u(x)} $（$ a > 0 $） | $ \ln y = u(x) \ln a $ | $ \frac{dy}{dx} = a^{u(x)} \cdot u'(x) \cdot \ln a $ |
三、典型应用举例
1. 例1：求 $ y = x^x $ 的导数
- 取对数：$ \ln y = x \ln x $
- 求导：$ \frac{1}{y} \cdot y' = \ln x + 1 $
- 得到：$ y' = x^x (\ln x + 1) $
2. 例2：求 $ y = \frac{(x+1)^2}{x^3} $ 的导数
- 取对数：$ \ln y = 2 \ln(x+1) - 3 \ln x $
- 求导：$ \frac{1}{y} \cdot y' = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x} $
- 得到：$ y' = \frac{(x+1)^2}{x^3} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x} \right) $
四、小结
对数求导法是一种非常实用的工具，尤其在处理指数函数、乘积函数或分数形式的函数时，能够显著简化计算过程。掌握上述常见公式的应用，有助于提高解题效率和准确性。
希望本表能为你的学习和复习提供帮助！
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