【中考数学压轴题精选精析(21-30例)】在中考数学中，压轴题往往是最具挑战性的部分，它不仅考查学生的综合运用能力，还涉及对知识的深入理解和灵活应用。本文精选了第21至第30道具有代表性的中考数学压轴题，并对其进行详细解析，帮助学生掌握解题思路与技巧，提升应试能力。
第21题：几何与函数结合
题目：
已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 经过点 $ A(1, 2) $、$ B(-1, -2) $，且其顶点在直线 $ y = x $ 上。求该抛物线的解析式。
解析：
首先，将点 $ A $ 和 $ B $ 代入抛物线方程，得到两个方程：
$$
\begin{cases}
a + b + c = 2 \\
a - b + c = -2
\end{cases}
$$
相加得 $ 2a + 2c = 0 \Rightarrow a + c = 0 $。
又因为顶点在直线 $ y = x $ 上，而抛物线顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $，所以有：
$$
-\frac{b}{2a} = \frac{4ac - b^2}{4a}
$$
结合 $ a + c = 0 $，可解出 $ a $、$ b $、$ c $ 的值，最终得出抛物线的解析式为：
$$
y = x^2 - 2x + 1
$$
第22题：动点问题与最值
题目：
如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 6 $，$ BC = 8 $，点 $ P $ 在边 $ AD $ 上，从点 $ A $ 向点 $ D $ 移动，速度为每秒 1 单位。设点 $ P $ 到点 $ C $ 的距离为 $ d $，求 $ d $ 的最小值。
解析：
设点 $ P $ 的坐标为 $ (0, t) $，其中 $ 0 \leq t \leq 8 $，点 $ C $ 的坐标为 $ (6, 8) $，则：
$$
d = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - t)^2} = \sqrt{36 + (8 - t)^2}
$$
当 $ t = 8 $ 时，$ d $ 取得最小值 $ \sqrt{36} = 6 $。
第23题：几何图形变换与相似三角形
题目：
如图，△ABC 中，∠BAC = 90°，AD 是斜边上的高，若 $ AB = 3 $，$ AC = 4 $，求 $ BD $ 的长度。
解析：
由勾股定理得 $ BC = 5 $。根据直角三角形中的高公式：
$$
AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}
$$
再利用相似三角形性质，△ABD ∽ △ABC，可得：
$$
\frac{BD}{AB} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow BD = \frac{AB^2}{BC} = \frac{9}{5}
$$
第24题：一次函数与不等式组
题目：
已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图像经过点 $ (2, 3) $ 和 $ (-1, 0) $，求不等式 $ kx + b > 0 $ 的解集。
解析：
由两点确定一次函数：
$$
\begin{cases}
2k + b = 3 \\
-k + b = 0
\end{cases}
\Rightarrow k = 1, b = 1
$$
因此，不等式变为 $ x + 1 > 0 $，解得 $ x > -1 $。
第25题：圆与切线的综合应用
题目：
已知圆 $ O $ 的半径为 5，点 $ A $ 在圆外，OA = 13，从点 $ A $ 向圆作切线，切点为 $ T $，求 $ AT $ 的长度。
解析：
根据切线长公式：
$$
AT = \sqrt{OA^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12
$$
第26题：统计与概率结合
题目：
某校九年级学生参加体育测试，成绩分布如下表所示：
| 成绩 | 优秀 | 良好 | 合格 | 不合格 |
|------|------|------|------|--------|
| 人数 | 10 | 15 | 20 | 5|
从中随机抽取一名学生，求其成绩为“良好”或“优秀”的概率。
解析：
总人数为 $ 10 + 15 + 20 + 5 = 50 $，良好和优秀人数为 $ 10 + 15 = 25 $，因此概率为：
$$
\frac{25}{50} = \frac{1}{2}
$$
第27题：二次函数与实际应用
题目：
某商品的利润 $ y $（元）与销售量 $ x $（件）之间的关系为 $ y = -2x^2 + 40x $，求最大利润及对应的销售量。
解析：
这是一个开口向下的抛物线，顶点处取得最大值：
$$
x = \frac{-b}{2a} = \frac{-40}{2 \times (-2)} = 10
$$
此时最大利润为：
$$
y = -2(10)^2 + 40 \times 10 = -200 + 400 = 200 \text{ 元}
$$
第28题：几何证明与全等三角形
题目：
如图，在△ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，连接 DE。求证：DE ∥ BC 且 $ DE = \frac{1}{2}BC $。
解析：
根据中位线定理，连接三角形两边中点的线段平行于第三边，且等于第三边的一半，故结论成立。
第29题：分式方程与实际问题
题目：
甲、乙两人同时从 A 地出发去 B 地，甲的速度是每小时 6 km，乙的速度是每小时 5 km，甲比乙早到 1 小时。求 A、B 两地的距离。
解析：
设距离为 $ x $ km，则：
$$
\frac{x}{5} - \frac{x}{6} = 1 \Rightarrow \frac{6x - 5x}{30} = 1 \Rightarrow x = 30
$$
第30题：多步推理与逻辑思维
题目：
已知 $ a + b + c = 0 $，且 $ ab + bc + ca = -1 $，求 $ a^3 + b^3 + c^3 $ 的值。
解析：
利用恒等式：
$$
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc
$$
由于 $ a + b + c = 0 $，代入得：
$$
a^3 + b^3 + c^3 = 0 - 0 + 3abc = 3abc
$$
但无法直接求出 $ abc $，需进一步分析。若假设 $ a = b $，则 $ c = -2a $，代入原式可得 $ abc = -2a^3 $，从而推导出具体数值。
结语：
以上 10 道中考数学压轴题涵盖了函数、几何、代数、统计等多个知识点，难度适中但富有思考性。通过系统练习与深入理解，学生可以逐步提升解题能力，从容应对中考数学的最后冲刺。
